Racines de polynômes

Exercice 1. Factorisation de X − 1 Factoriser X − 1 sur C. 1) En déduire ∏n−1 k=1 sin( kπ n ). 2) Calculer également ∏n−1 k=0 sin( kπ n + θ). 3) On note ω = e2iπ/n. Calculer ∏ k 6=`, k,`∈[0,n−1](ω − ω). Exercice 2. Mines MP 1999 Montrer que ∏n−1 k=0(ω − 2ω cos θ + 1) = 2(1− cos(nθ)) pour ω = e2iπ/n. Exercice 3. Racines de j et j2 Montrer que si p 6 n, alors X2p +X2 + 1 divise X2n +X2 + 1. Exercice 4. X2 − 2X cos θ + 1 divise X2n − 2X cos(nθ) + 1 Montrer que X2 − 2X cos θ + 1 divise X2n − 2X cosnθ + 1. Pour sin θ 6= 0, chercher le quotient. Exercice 5. X2 − 2X cos θ + 1 divise Xn+1 cos(n− 1)θ −X cosnθ −X cos θ + 1 Montrer que X2 − 2X cos θ + 1 divise Xn+1 cos(n − 1)θ − X cosnθ − X cos θ + 1, puis déterminer le quotient.